Помимо программ с линейной структурой , инструкции которых исполняются строго по порядку, существует множество алгоритмов, структура которых нелинейная . При этом последовательность элементов алгоритмов может выполняться в зависимости от определенных условий, иногда с конечным числом повторений – регулярных циклов, иногда в виде циклов, завершаемых при выполнении заданного условия. Практически любая серьезная программа имеет нелинейную структуру. Для создания таких программ необходимы специальные управляющие структуры. Они имеются в любом языке программирования высокого уровня, и в частности в Matlab.

Рассмотрим операторы m -файлов подробнее.

Оператор присваивания. Основным оператором системы программирования MatLab является оператор присваивания , имеющий следующую структуру:

ИмяПеременной = выражение

Оператор предназначен для идентификации переменных и обозначается символом = , слева от которого находится имя переменной, а справа арифметическое или строковое выражение (правила записи арифметических и строковых выражений были рассмотрены в п. 1.1.2). Приведем несколько примеров операторов присваивания (рис. 1.3.4-1).

Рис. 1.3.4-1. Примеры операторов присваивания

Все переменные, используемые в правой части оператора присваивания, должны быть предварительно определены. Если командная строка заканчивается символом точка с запятой (; ), то результат выполнения оператора не выводится, иначе он выводится в следующей строке командного окна. Это замечание распространяется и на выполнение операторов присваивания, расположенных в m -файлах.

Операторы ввода данных. Ввод данных в Matlab может осуществляться как с использованием оператора присваивания (a=5 ;), так и с использованием функции ввода данных с клавиатуры:

ИмяПеременной = input (" Запроc ");

Эта функция вводит выражение с клавиатуры, а результат заносится в переменную с именем a . В приведенном ниже примере в переменную a введено вначале числовое значение, а затем числовое выражение (рис. 1.3.4-2).

Рис. 1.3.4-3. Вычисление выражения, заданного в символьном виде

Условный оператор if…end. Условный оператор if в общем виде записывается следующим образом:

if ЛогическоеВыражение1

Инструкции1

elself Условие2

ЛогическоеВыражение2

ЛогическоеВыражение3

Правила записи логических выражений описано в Теме 1.1.

Эта конструкция допускает несколько частных вариантов. Простейшее – усеченное разветвление [x] имеет следующий вид:

if ЛогическоеВыражение

Инструкции

Напомним, что если ЛогическоеВыражение возвращает логическое значение 1 (то есть «Истина»), выполняются Инструкции , составляющие тело структуры if...end . При этом оператор end указывает на конец перечня инструкций. Инструкции в списке разделяют запятая или точка с запятой. Если ЛогическоеВыражение не выполняется (дает логическое значение 0 , «Ложь»), то Инструкции также не выполняются.

Ниже приведен пример использования простейшего усеченного разветвления, реализованного с использования оператора if (рис. 1.3.4-4).

Рис. 1.3.4-5. Пример стандартного разветвления

Из приведенного примера видно, что оператор if может быть как в одну строку, так и в несколько строк.

Рассмотрим пример более сложного - вложенного разветвления . Рассмотрим пример

причем, для того чтобы полностью отразить структуру сложного разветвления, не заботясь о переносе длинных командных строк, используем m -функцию (рис. 1.3.4-7). Подберем данные для проверки основного разветвления и обратимся к функции raz() с различными исходными данными (рис. 1.3.4-6).

Рис. 1.3.4-7. Функция, реализующая вложенное разветвление

Оператор множественного выбора – switch. Для осуществления множественного выбора используется следующая конструкция switch:

switch Bыражение

case Зачение_1

Список_инструкций_1

case Значение_2

Список_инструкций_2

case Значение_N

Список_инструкций_N

Otherwise

Список_инструкций_N+1

Если выражение после заголовка switch имеет значение одного из выражений Значение..., то выполняется блок операторов case , в противном случае - список инструкций после оператора otherwise . При выполнении блока case исполняются те списки инструкций, для которых Значение совпадает с Bыpaжением . Обратите внимание на то, что Значение может быть числом, константой, переменной, вектором ячеек или даже строчной переменной. Поясним использования оператора перебора switch следующим примером:

M -функция, реализующая множественное разветвление, приведена на рис. 1.3.4-8, а обращение к ней при исходных данных, позволяющих проверить каждую ветвь разветвления, показано на рис. 1.3.4-9.

Рис. 1.3.4-9. Обращения к функции multifunc()

У функции multifunc(x,n) два параметра, причем второй играет роль индикатора, определяющего тип функциональной зависимости. Значение функции записывается в переменную y . Если n=1, то выполняется первый case-блок, если 2, то – второй, если n=2, 3 или 4, то – третий. Если же значение переменной n не совпадает ни с одним из перечисленных значений, то выполняется команда, расположенная после ключевого слова otherwise .

Оператор регулярного цикла – for...end. Оператор цикла типа for...end обычно используется для организации вычислений с заданным числом повторений циклов. Конструкция такого цикла имеет следующий вид:

for vаг = s:d:e

Инструкция1

ИнструкцияN

где s - начальное значение переменной цикла var , d - приращение этой переменной и е - конечное значение управляющей переменной, при превышении которого цикл завершается. Возможна и запись в виде s:е (в этом случае d=l ). Список выполняемых в цикле инструкций завершается оператором end .

В качестве примера использования оператора for...end вычислим сумму элементов массива х , значения которого определены в командном окне с использованием m-функции summa() (рис. 1.3.4-10), параметром которой служит вектор x . Количество элементов массива х определяется функцией length . Кроме обращения к функции в командном окне предусмотрена проверка результата вычислений с использованием встроенной функции sum(x) (рис. 1.3.4-11).

Рис. 1.3.4-11. Обращение к функции summa() и встроенной функции sum()

В цикле может быть использован оператор continue , который передает управление в следующую итерацию цикла, пропуская операторы, которые записаны за ним, причем во вложенном цикле он передает управление на следующую итерацию основного цикла. Оператор break может использоваться для досрочного прерывания выполнения цикла (например, при отладке участка программы). Как только он встречается в программе, цикл прерывается.

Кроме простых регулярных циклов в Matlab имеется возможность организации вложенных циклов . Рассмотрим пример формирования двумерного массива а, каждый элемент которого представляет сумму его индексов (рис. 1.3.4-12). Обращение к script -файлу vzikl приведено на рис. 1.3.4-13.

Рис. 1.3.4-13. Обращение к script -файлу с именем vzikl

Оператор итеративного цикла – while…end. Общий вид структуры while…end выглядит следующим образом:

while ЛогическоеВыражение

Инструкции

Отличительной особенностью этой структуры является то, что инструкции, расположенные в теле структуры повторения, выполняются только в том случае, если некоторое ЛогическоеВыражение «истинно». Как только условие становится «ложным», происходит выход из структуры повторения, и управление передается на инструкцию, расположенную после ключевого слова end .

Приведем простой пример (рис. 1.3.4-14).

Рис. 1.3.4-14. Диалоговая программа, использующая оператор while…end

Эта программа, сохраненная в m -файле с именем primer11 , служит для многократного вычисления длины окружности по вводимому пользователем значению радиуса r , где диалог реализован с помощью команды input. Cтроки, связанные с вводом переменной r и вычислением длины окружности, включены в управляющую структуру while...end . Это необходимо для циклического повторения вычислений при вводе различных значений r . Пока r>=0 , цикл повторяется. Но стоит задать r<0 , вычисление длины окружности перестает выполняться, а цикл завершается. Поскольку во второй строке программы величинаr определена равной 0, цикл повторяется хотя бы один раз.

Работа с программой в командном окне представлена на рис. 1.3.4-15.

Рис. 1.3.4-16. Прерывание программы с применением оператора break

Оператор continue передает управление в следующую итерацию цикла, про­пуская операторы, которые записаны за ним, причем во вложенном цикле он пере­дает управление на следующую итерацию основного цикла. Ниже приведен пример вычисления суммы и произведения положительных элементов двумерного массива b(3,3) (рис. 1.3.4-17).

Рис. 1.3.4-17. Прерывание программы с применением оператора continue

Примеры решения задач с использованием

M-файлов

Пример 1.3.5-1. Даны n чисел . Требуется вычислить их сумму: где

Для решения поставленной задачи разработана функция fb(x) , реализующая алгоритм вычисления текущего значения функции. Функция имеет один входной параметр – текущее значение элемента массива b и один выходной параметр – y (рис. 1.3.5-1). Обращение к функции происходит в цикле, организованном для вычисления суммы (рис. 1.3.5-2).

Рис. 1.3.5-2. Программа, реализующая вычисление суммы чисел

Для вычисления суммы значений функции создан script -файл с именем zadashа.m , в котором сначала заданы количество чисел (n=10 ) и вектор их значений (b ), а затем организован регулярный цикл для обращения в функции fb() и вычисления суммы.

Вычисления производятся запуском script -файла путем набора в командной строке окна Command Window его имени zadasha . Результаты его выполнения выведены на рис. 1.3.5-3.

Рис. 1.3.5-3. Запуск script -файла zadasha на выполнение

Пример 1.3.5 -2. Сформировать из произвольных чисел двумерный массив а(3,4). Вычислить и вывести одномерный массив b, каждый элемент которого есть среднее арифметическое элементов соответствующей строки массива а.

На рис. 1.3.5-4 приведен script -файл с именем zadasha2 , где введена матрица, а , состоящая из трех строк и четырех столбцов. Организован цикл по количеству формируемых элементов массива b путем обращения к функции sred_ar() . В функцию передается массив а , номер строки (i ) и количество элементов в строке (m ). Вывод элементов массива b предусмотрен в столбец.

Рис. 1.3.5-5. Функция sred_ar() , вычисляющая среднее арифметическое
элементов строки массива a

В результате запуска script -файле с именем zadasha2 в окно Command Window выводится столбец элементов массива b

Рис. 1.3.5-7. Функция fab(), вычисляющая значение i-го слагаемого

Рис. 1.3.5-9. Запуск функции sumf() на выполнение

Лабораторная работа по теме

«Средства алгоритмизации и программирования

В Matlab»

Вопросы, подлежащие изучению

1) Виды m- файлов.

2) Создание и сохранение новых, и открытие ранее созданных m-файлов.

3) Особенности script- файлов и m- функций.

4) Запуск на выполнение script- файла из текстового редактора.

5) Запуск на выполнение script- файла из командного окна.

6) Обращения к script- файлам и m-ф ункциям.

7) Средства языка программирования в системе Matlab.

8) Основные операторы m-языка их назначение и форматы.

2. Общее задание

1) Изучите материал Темы 1.3 (п.п. 1.3.1 – 1.3.5 ).

2) Выберите индивидуальное задание из табл. 1.3.6-1 .

3) Разработайте m -функции для реализации стандартных алгоритмов: вычисления конечных сумм, разветвлений, поиска минимума и максимума в последовательности данных и т.п.

4) Введите и сохраните m -функции на внешнем носителе.

5) Создайте новый script -файл, в который введите код программы, описывающий логику решения поставленной задачи.

6) Сохраните script -файл в текущем каталоге.

7) Произведите отладку scrip t-файла, запуская его на выполнение из текстового редактора командой Run .

8) Подготовьте и введите исходные данные для решения поставленной задачи;

9) Выполните script -файл из командной строки окна Command Window .

10) Сохраните текст рабочего окна на внешнем носителе.

11) Предоставьте результаты работы преподавателю, ответьте на поставленные вопросы.

12) Выполните команду clear all для очистки Рабочей среды .

13) Оформите отчет по выполненной работе.

Варианты индивидуальных заданий

Таблица 1.3.6-1

№	Задание
	Ввести натуральное число nи вектор действительных чисел Найти: где
	Вычислить где
	Задать массив , состоящий из четного количества элементов. Каждая пара чисел , где i+1 кратно двум, задает координаты вершины ломаной. Построить ломаную, соединив при этом последнюю вершину с первой
	. Вычислить произведение , где
	Ввести натуральное число n и действительное число х. Вычислить
	Ввести натуральное число n. Найти наибольшее среди значений , где k=1, 2,…,n, а также сумму всех полученных значений
	Ввести натуральное число n. Среди значений , где (i=1,2,…n), найти все положительные и вычислить их сумму
	Ввести натуральное число n и вектор действительных чисел . Определить, положительных или отрицательных чисел в векторе больше, и определить наибольшее из отрицательных и наименьшее из положительных чисел
	Ввести матрицу B(5,7) и сформировать из первых наибольших элементов строк вектор С(5). Вывести его элементы в строку и столбец
	Сформировать вектор по правилу: , где k=2,3,…, 7, если Найти сумму квадратов тех чисел, которые не превосходят 2
	Ввести натуральное число n и вектор действительных чисел . Найти количество двух соседних положительных чисел и двух соседних чисел разного знака
	Ввести квадратную матрицу А(4,4). Сформировать из максимальных элементов ее столбцов вектор X, вывести его элементы на экран в прямой и обратной последовательности
	Ввести вектор целых чисел . Преобразовать его таким образом, чтобы сначала располагались нули, затем все остальные элементы. Определить сумму и количество элементов, значения которых кратно 5
	Ввести вектор вещественных чисел . Создать из него массив x, каждый элемент которого максимальный из трех элементов, идущих подряд в массиве z
	Сформировать матрицу А(4,4) по правилу: Найти и вывести значения и индексы двух одинаковых элементов. Если таковых не окажется, вывести сообщение
	Сформировать матрицу D(3,2) по правилу: . Создать вектор из отрицательных элементов полученной матрицы
	Задать натуральное число n. Посчитать, какая из матриц размером nна n содержит больше положительных элементов, если их элементы формируются по правилу: Вывести на экран сформированные матрицы
	Ввести квадратную матрицу вещественных чисел А(4,4). Найти сумму наибольших значений элементов ее строк. Сформировать новую матрицу В(4,4) путем умножения каждого элемента матрицы А на найденную сумму и делением его на определитель исходной матрицы
	Ввести матрицу вещественных чисел А(4,7) и получить из нее вектор С(4), элементы которого это: · наибольший из элементов в первой строке; · наименьший из элементов во второй строке; · среднее арифметическое элементов третьей строки; · сумма элементов четвертой строки
	Ввести натуральное число n и матрицу вещественных чисел С(n,n). Найти среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значений ее элементов и, заменив этим значением диагональные элементы, вывести матрицу С на экран
	Ввести натуральные числа k1, k2 и действительную матрицу размера 8х4. Поменять в матрице местами элементы k1 и k2 строк
	Ввести натуральное число n и матрицу вещественных чисел С(n,9). Найти среднее арифметического каждого из столбцов, имеющих четные номера
	Ввести векторы действительных чисел x(5), y(6),z(7). Вычислить величину t по следующему алгоритму:
	Ввести векторы действительных чисел x(5). Получить для х=1, 3, 4 значения где
	Ввести векторы действительных чисел x(10). Получить из него другой массив p(10), элементы которого упорядочены по возрастанию
	Ввести матрицу вещественных чисел А(3,4). Заменить элементы строки матрицы с максимальной суммой значений элементов – единицами, с минимальной - двойками, а остальные элементы матрицы положить равными нулю
	Сформировать матрицу А(4,4) по правилу Удалить из него столбцы, содержащие элементы, меньшие 10
	Сформировать матрицу В(9,3) по правилу Определить наименьший элемент в каждой строке матрицы и записать его в соответствующий элемент вектора С. Вывести полученный вектор С
	Ввести матрицу вещественных чисел А(3,4), все элементы которой различны. В каждой строке следует выбрать наибольшее и наименьшее значения, а сумму индексов столбцов, в которых они расположены, записать в соответствующий элемент вектора С(3)
	Ввести матрицу вещественных чисел А(4,4). Получить последовательности элементов главной и побочной диагонали, создать из этих элементов векторы B(4) и C(4) и вывести их на экран

1) В форме комментариев:

· Название лабораторной работы

· ФИО студента, номер группы

· № варианта

· Индивидуальное задание

2) Протокол вычислений (сессии) в окне Command Window , снабженный необходимыми комментариями.

1.3.7. Контрольные вопросы по теме

1) Что такое script- файл и каковы его особенности?

2) Каким образом script- файл запускается на выполнение?

3) Что такое m- функция ?

4) В чем отличие script- файла от m- функции?

5) Может ли m-функция иметь несколько выходных параметров?

6) Обращение к m-функции .

7) Формат оператора input().

8) Как с использованием оператора if…end реализовать стандартное, усеченное и вложенное разветвление?

9) Формат оператора множественного разветвления switch .

10) Формат оператора регулярного цикла for…end , особенности задания значений переменной цикла.

11) Назначение операторов continue и brek .

12) Оператор итеративного цикла while…end и его структура.

Раздел 2. Технология решения
вычислительных задач средствами MatLab

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 c.
ISBN 5-94157-494-0
Скачать (прямая ссылка): matlab72005.pdf Предыдущая 1 .. 117 > .. >> Следующая

while условие повторения цикла команды MATLAB

В данном примере условием повторения цикла является то, что модуль текущего слагаемого x2k~l/(2k +1)! больше IO10. Для записи условия в форме,

понятной MATLAB, следует использовать знак ">" (больше). Текст файл-функции mysin, вычисляющей сумму ряда на основе рекуррентного соотношения

k 2k(2k + \) k 1

приведен в листинге 7.7.

Примечание ^

Конечно, в общем случае малость слагаемого- понятие относительное, слагаемое может быть, скажем, порядка IO-10, но и сама сумма того же порядка. В этом случае условие окончания суммирования должно быть другим, а именно малость модуля отношения текущего слагаемого к уже накопленной части суммы. Пока не будем обращать на это внимания - нашей задачей является изучение работы с циклами.

Листинг 7.7. Файл-функция mysin, вычисляющая синус разложением в ряд

function s - mysin(х)

"% Вычисление синуса разложением в ряд

% Использование: у = mysin [х}, -pi < х < piГлава 7. Управляющие конструкции языка программирова ни я

Ї вычисление первого слагаемого суммы для к = О k = 0; и - х;

% вычисление вспомогательной переменной х2 - х*х;

while abs(u) > 1.Oe-IO k = к + 1; u = -и* х2/(2*к)/(2*к + 1)

Обратите внимание, что у цикла while, в отличие от for, нет переменной цикла, поэтому пришлось до начёта цикла к присвоить единицу, а внутри цикла увеличивать к на единицу.

Сравните теперь результат, построив графики функций mysin и sin на отрезке [-л, я] Fia одних осях, например, при помощи fplot (команды можно задать из командной строки): » fplot (@rnysin, [-pi, pi]) » hold on

» fplot(@sin, t-pii pi]і "k.")

Рис. 7.3. Сравнение mysin и sin360_________ Часть II. Вычисления и программирование

Получающиеся графики изображены на рис. 7.3, они свидетельствуют о правильной работе файл-функции mysin.

Условие цикла while может содержать логическое выражение, составленное из операций отношения и логических операций или операторов. Для задания условия повторения цикла допустимы операции отношения, приведенные в табл. 7.1.

Таблица 7.1. Операции отношения

Обозначение Операция отношения
== Равенство
< Меньше
<= Меньше или равно
>= Больше или равно
Не равно

Задание более сложных условий производится с применением логических операторов или операций. Например, условие -1<.г<2 состоит в одновременном выполнении неравенства а>-1 и х<2 и записывается при помощи логического оператора and

and(x >= -1, X < 2)

или эквивалентным образом с применением логической операции "и" - &

(х >= -1) & (х < 2)

Основные логические операции и операторы и примеры их записи приведены в табл. 7.2 (логические выражения подробно описаны в разд. "Логические операции с числами и массивами " этой главы).

Таблица 7.2. Логические выражения

Тип выражения Выражение Логический оператор Логическая операция
Логическое "и" А*<3 И к=4 and (х < 3, k==4) (х<3) s (k = 4)
Логическое "или" X = Ї или 2 or (х == 1, X= 2) (х == 1) I (х == 2)
Отрицание "не" а* 1.9 not (a == 1.9) -(а == 1.9)Глава 7. Управляющие конструкции языка программирова ни я

^ Примечание ^

Операторы not, and и or являются функциям», возвращающими значения "истина" (логическая единица) или "ложь" (логический ноль). Такие же значения принимает любое логическое выражение.

При вычислении суммы бесконечного ряда имеет смысл ограничить число слагаемых. Если ряд расходится из-за того, что его члены не стремятся к нулю, то условие на малость текущего слагаемого может никогда не выполниться и программа зациклится. Выполните суммирование, ограничив число слагаемых. Добавьте в условие цикла while файл-функции mysin (см. листинг 7.6) ограничение на количество слагаемых:

(abs(u) > 1.Oe-IO) & (к <= 100000) или в эквивалентной форме:

and l.Oe-lO, k <= 100000)

^ Примечание ^

Для задания порядка выполнения логических операций следует использовать круглые скобки (подробнее про логические операторы и логические операции и про возможность применения их к массивам написано в

разд. "Логические выражения с массивами и числами" данной главы).

При программировании алгоритмов кроме организации повторяющихся действий в виде циклов часто требуется выполнить тот или иной блок команд в зависимости от некоторых условий, т.е. использовать ветвление алгоритма.

Операторы ветвления

Условный оператор if и оператор переключения switch позволяют создать гибкий разветвляющийся алгоритм, в котором при выполнении определенных условий выполняется соответствующий блок операторов или команд MATLAB. Практически во всех языках программирования имеются аналогичные операторы.

Условный оператор if

Оператор if может применяться в простом виде, для выполнения блока команд при удовлетворении некоторого условия, или в конструкции if-eiseif-eise для написания разветвляющихся алгоритмов.362

Часть II. Вычисления и программирование

Проверка входных аргументов

Начнем с простейшего примера - создайте файл-функцию для вычисления

Операторы цикла В MATLAB повторяющиеся действия осуществляются с помощью операторов циклов for и while. Самое простое использование for осуществляется следующим образом: 2

For count = start: step: final Команды MATLAB End Здесь count – переменная цикла; n start, final – начальное и конечное действительное значение; n step – шаг из множества действительных чисел (по умолчанию равен 1, его можно опустить). Цикл заканчивается, как становиться больше final. только count 3

Пример 1 Вычислить сумму при x= -1, 0, 1. Решение В редакторе M-file создадим файл-программу. Сохраняем её в файле Summa. m S = 0; for k = 1: 10 S = S + x. ^ k / factorial(k); End S В командной строке x = -1: 1: 1; Summa S = -0. 6 0 1. 7 Заметим, что переменные k, s глобальные. 4

Удобнее для этого примера использовать файлфункцию. В редакторе М-файлов В командной строке создаем файл-функцию function S = funsum(x, N) > f = funsum (-1: 1, 10) S = 0; > f = for m = 1: N -0. 6 0 1. 7 S = S + x. ^ m / factorial(m); end Здесь переменные s, m локальные. 5

Пример 2 Создать матрицу Гильберта порядка n. Решение n = 4; a = zeros (n, n); for i = 1: n for j = 1: n a (i, j) = 1 / (i+j-1); end a 6

Замечание Перед заполнением матриц и векторов следует сначала создать их и заполнить нулями командой zeros, для увеличения скорости алгоритма (то есть a = zeros (n, n) быстрее, чем a(i, j) = 0, i, j = 1, …, n). 7

Цикл for оказывается полезным, при выполнении повторяющихся действий, когда их число заранее известно. В случае, если их число заранее неизвестно можно воспользоваться циклом while: While условие цикла Команды MATLAB Еnd 8

Пример 3 Найти сумму ряда для заданного x До бесконечности суммировать не удастся, но можно накапливать сумму, пока слагаемые не будут слишком маленькими, например, пока 9

Замечание Малость слагаемого – понятие относительное, слагаемое, может быть, скажем, порядка 10 -10, но и сама сумма того же порядка. В этом случае нельзя останавливать суммирование. Не будем пока обращать на это внимание и вернемся к решению. 10

Src="https://present5.com/presentation/c993b082b44b0b84b1886b8dd4d3c841/image-11.jpg" alt="M-file функция В командной строке function S = mysin(x) > f = mysin (1)"> M-file функция В командной строке function S = mysin(x) > f = mysin (1) S = 0; 0. 8415 k = 0; while abs(x. ^ (2*k + 1)/factorial(2*k + 1)) > 1. 0 e -10 S = S + (-1)^k * x. ^ (2*k + 1)/factorial(2*k + 1); k = k + 1; end 11

Для задания условия выполнения цикла используются следующие операции отношения Отнош Значени ение я = = равно > больше > = больше или равно ~ = не равно

и логические операторы: Оператор Условие Запись в MATLAB Эквивалентная запись Логическое «и» x

Вернемся к нашему примеру, и заметим, что если ряд расходится, то условие на малость текущего слагаемого может никогда не выполнится и программа зациклиться. Поэтому ограничим число слагаемых 100. 000 Условие будет выглядеть так or (abs (x. ^ (2*k + 1)/factorial(2*k + 1)) > 1. 0 e -10, k

Обработка исключительных ситуаций 1) break – прерывание цикла и выполнение оператора следующего за end (например, выход из внутреннего цикла); 2) Часть некорректных математических операций в MATLAB, не приводит к завершению работы программы (например, = inf, = Na. N). Выходом является конструкция try Операторы, выполнение которых может привести к ошибке catch Операторы в случае ошибки end 15

Операторы ветвления Условный оператор В MATLAB используются следующие операторы ветвления: n if – условный оператор; n switch – оператор переключения 16

Структура условного оператора: if (условие) команды MATLAB elseif (условие) команды MATLAB …………. Эта часть может отсутствовать elseif (условие) Команды MATLAB else Команды MATLAB end 17

При составлении М-файла, использующего операторы ветвления, полезно применять 1) команду warning (‘текст’) – для вывода предупреждения в командное окно; 2) функцию error (‘текст’) – для прекращения выполнения программы. 18

Пример 4 Дано квадратное уравнение ax 2 + bx +c = 0, a ≠ 0. Напишем М-функцию вычисляющую корни квадратного уравнения. Сделаем проверку на количество входных и выходных параметров, а так же на то, что входные параметры являются числами, а не векторами и матрицами. Более того, учтем случай комплексного корня. Программа выглядит так: 19

function = root 2 (a, b, c) if (nargin

Замечание Для написания собственных вычислительных программ большую пользу может принести самостоятельное изучение стандартных файл-функций в подкаталогах Toolbox. Большинство из них имеют открытый код, что позволяет понять принципы программирования в MATLAB. Другие функции (например, cos. m) являются встроенными. Они содержат комментарии об использовании функций. Приведем еще один пример. 21

function y = kusfun (x) If nargin ~= 1 error (‘Должен быть один входной аргумент’) end = size(x); y = zeros (size(x)); % инициализирует входной аргумент for i = 1: Nx for j = 1: Mx if x (i, j) = -pi не нужна! y (i, j) = x (i, j) / pi; else y (i, j) = - cos(x (i, j)) end end 23

Оператор switch удобно применять тогда, когда есть соответствие между дискретными значениями некоторой переменной и последующими действиями. 24

Структура оператора видна из следующего примера: switch a case -1 disp (‘a = -1’) case 0 disp (‘a = 0’) otherwise disp (‘a не равно -1, 0’) end 25

Оператор switch хорошо подходит для решения поставленной задачи о выводе различных графиков исследуемой функции (каркасная поверхность (а=1), линии уровня (а=2) и т. д.). 26

Логические выражения с массивами и числами Универсальным способом обработки матричных данных служат логические операции. Поскольку MATLAB представляет числа массивами 1 1, то естественно ожидать, что массивы могут входить в логические выражения. Сейчас мы рассмотрим расширение логических операций и операций отношения на случай массивов. 27

Операции отношения Результат операции отношения в MATLAB может быть или логическая единица (‘истина’) или логический нуль (‘ложь’). Причем в отличие от многих языков программирования арифметические переменные могут использоваться в одном выражении с логическими. 28

Src="https://present5.com/presentation/c993b082b44b0b84b1886b8dd4d3c841/image-29.jpg" alt="Пример 6 > a = 1; b = 3; c = 1; >"> Пример 6 > a = 1; b = 3; c = 1; > a + (b > c) ans = 2 > a + (b

Src="https://present5.com/presentation/c993b082b44b0b84b1886b8dd4d3c841/image-30.jpg" alt=" > A = ; B = ; B = ; > C = A = = B C = 30

Замечание Так же как и в поэлементных арифметических операциях, допустимо использовать числа в качестве одного из аргументов операции отношения. В этом случае происходит сравнение каждого элемента массива с числом, результатом является массив того же размера, что и исходный. 31

Логические операции Применение логических операций к массивам приводит к поэлементному их выполнению над элементами массивов. n А and B – дает единицу, если соответствующие элементы не равны нулю; n A or B - дает единицу, если хотя бы один элемент не равен нулю; 32

not A – применяется к одному массиву, если элемент не равен нулю, то ставится нуль, иначе – единица; n all (v) – проверка наличия нулевых элементов в векторе, возвращает единицу, если нет нулевых элементов. Если v – матрица, то результат по столбцам; n any (v) – возвращает единицу, если во входном векторе есть хотя бы один ненулевой элемент. n 33

Приоритет операций 1. Отрицание; 2. Транспонирование, возведение в степень (в том числе поэлементное), знак плюс и минус перед числом; 3. Умножение и деление (в том числе поэлементное); 4. Сложение и вычитание; 5. Операции отношения; 6. Логическое ‘и’, логическое ’или’. 34

Src="https://present5.com/presentation/c993b082b44b0b84b1886b8dd4d3c841/image-36.jpg" alt=" Пример 7 > a = ; > u"> Пример 7 > a = ; > u = find ((a = -1)) 3 4 5 > anew = a(u) 0 -1 0 36

Пример 8 Заменить самостоятельно элементы квадратной матрицы 5 x 5 случайных чисел из интервала (0, 1), больших среднего значения всех элементов на 10%, на среднее значение. Решение > A = rand (5); > S = sum (sum A) / 25; > A(find (A > S* 1. 1)) = S В данном случае функция find выдает 2 вектора номера строк и номера столбцов. 37

Полиномы в MATLAB Полином p (х) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 0, an≠ 0 в MATLAB задается вектор-строй р= , где ai – любые комплексные числа, an≠ 0. Заметим, что степень полинома вычисляется так: n=length(р)-1 (при n=0 получается const). 38

Основные команд для действий с полиномами таковы: n n n r=roots(р) – вектор-столбец, содержащий все корни полинома; p=poly(r) – построение полинома по корням, заданным в векторе-столбце r, причем, если r квадратная матрица, то р - характеристический многочлен; y=polyval(p, x) – поэлементное вычисление у значений полиному р на множестве х, где х может быть вектором или матрицей; 39

n n n polyder(p) – вектор-строка, производная от p (дифференцирование полинома p); polyder(p, q) –производная от произведения полиномов p и q; = polyder(p, q) – производная от частного полиномом p и q, где a и b являются числителем и знаменателем получившейся дроби; 40

n n n p=polyfit(x, y, n) – приближение функции y(x) полиномом p n-й степени по методу, минимизирующему расстояние между графиком полинома и истиной кривой, усредненное по всей их длине; conv(p, q) – вектор-строка, произведение полиномов p и q; =deconv(p, q) – деление p на q, причем w-частное, r-остаток и p=conv (q, w) +r; 41

n =residue(a, b) – разложение рациональной функции на простые дроби над полем комплексных чисел с выделением целой части k(х) или где ri – вычеты (элементы r), pi – полюса (элементы p). Эта команда работает и в обратную строну =residue(r, p, k) 42

Замечание 1. Если в residue (a, b) полином b(х), а в roots(p) полином р(х) имеют кратные или близкие друг к другу корни, то результаты могут быть неверными, поскольку такая задача плохо обусловлена. Плохая обусловленность – это крайне сильная зависимость результата от коэффициентов (аналог устойчивости решения в дифференциальных уравнениях). 43

2. При работе с полиномами возникают полиномы вида , а MATLAB автоматически не проверяет an≠ 0, и возникают ошибки (нужно самим следить). 44

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.

Начало работы

Изучите основы MATLAB

Основы языка

Синтаксис, индексация и обработка массива, типы данных, операторы

Импорт и анализ данных

Импорт и экспорт данных, в том числе и больших файлов; предварительная обработка данных, визуализация и исследования

Математика

Линейная алгебра, дифференцирование и интегрирование, преобразования Фурье и прочая математика

Графика

2D и 3D графики, изображения, анимация

Программирование

Скрипты, функции и классы

Создание приложений

Разработка приложений с помощью App Designer, программируемого рабочего процесса или GUIDE

Инструменты разработки программного обеспечения

Отладка и тестирование, организация крупных проектов, интеграция с системой контроля версий, упаковка тулбоксов

Кафедра: Информационные технологии

ПРОГРАММИРОВАНИЕ В MATLAB

Операторы MATLAB

· Операторы цикла

Цикл for

Синтаксис

for count=start:step:final

команды MATLAB

Описание

count – переменная цикла,

start – ее начальное значение,

final – ее конечное значение,

step – шаг, на который увеличивается count при каждом следующем заходе в цикл

цикл заканчивается, как только значение count становится больше final.

Пример

Пусть требуется вывести семейство кривых для x€ , которое задано функцией, зависящей от параметра

y (x, a) = e -ax sin x,

для значений параметра а от -0.1 до 0.1. Ниже приведен листинг файл-программы для вывода семейства кривых.

Листинг программы

x = ;

for a = -0.1:0.02:0.1

y = exp (-a*x).*sin(x);

В результате выполнения программы появится графическое окно, которое содержит требуемое семейство кривых.

Цикл while

Синтаксис

while условие цикла

команды MATLAB

Описание

Цикл работает, пока выполняется (истинно) условие цикла. Для задания условия выполнения цикла допустимы следующие операции отношения:

Задание более сложных условий производится с применением логических операторов. Логические операторы приведены в следующей таблице

Пример

Операторы ветвления

Условный оператор if

Синтаксис

if условие

команды MATLAB

Описание

Если условие верно, то выполняются команды MATLAB, размещенные между if и end, а если условие не верно, то происходит переход к командам, расположенных после end.

Пример

Условный оператор elseif

Синтаксис

if условие1

elseif условие2

………………………

elseif условиеn

Описание

В зависимости от выполнения того или иного условия работает соответствующая ветвь программы, если все условия неверны, то выполняются команды, размещенные после else.

Пример

Оператор switch

Синтаксис

switch переменная

case значение1

case значение2

……………………

case значениеn

Каждая ветвь определяется оператором case, переход в нее выполняется тогда, когда переменная оператора switch принимает значение, указанное после case, или одно из значение из списка case. После выполнения какой-либо из ветвей происходит выход из switch, при этом значения, заданные в других case, уже не проверяются. Если подходящих значений для переменной не нашлось, то выполняется ветвь программы, соответствующая otherwise.

Пример

Прерывания цикла. Исключительные ситуации.

Оператор break

Синтаксис

Оператор break используется при организации циклических вычислений: for…end, while…end. При выполнении условия

if условие

оператор break заканчивает цикл (for или while) и происходит выполнение операторов, которые расположены в строках, следующих за end. В случае вложенных циклов break осуществляет выход из внутреннего цикла.

Обработка исключительных ситуаций, оператор try … catch

Синтаксис

операторы, выполнение которых

может привести к ошибке

операторы, которые следует выполнить

при возникновении ошибки в блоке

между try и catch

Описание

Конструкция try…catch позволяет обойти исключительные ситуации (ошибки, приводящие к окончанию работы программы, например, обращение к несуществующему файлу) и предпринять некоторые действия в случае их возникновения.

Пример

Сервисные функции

disp – осуществляет вывод текста или значения переменной в командное окно

input – осуществляет запрос на ввод с клавиатуры. Используется при создании приложений с интерфейсом из командной строки.

eval – выполняет содержимое строки или строковой переменной, как команды MATLAB

clear – удаляет переменные рабочей среды.

с lc – производит очистку командного окна

Более подробную информацию об этих и других функциях можно узнать, выполнив в командной строке

help имя_функции

Задания на выполнение лабораторной работы

Номер конкретного варианта задания определяется преподавателем.

Задание №1

Данное задание подразумевает нахождение для некоторой совокупности данных алгебраического интерполяционного многочлена степени n: P n (x ) .

Цель работы:

Необходимо составить программу вычисления коэффициентов алгебраического интерполяционного многочлена P n (x )= a 0 + a 1 x + … + a n x n .

Методические указания:

Коэффициенты a 0 , a 1 , …, a n определяются из решения системы уравнений:

Здесь n – порядок интерполяционного многочлена,

n +1 – количество заданных пар точек (x , y ),

a 0 , a 1 ,… a n – искомые коэффициенты многочлена P n (x )= a 0 + a 1 x + … + a n x n ).

Требования к программе

· Задать границы отрезка , на котором строится интерполяционный многочлен P(x)

· Задать n – количество отрезков интерполяции (или, что то же самое, степень многочлена)

Примечание: x0 , xn , n вводятся с клавиатуры.

· Для получения исходных данных (x, y) (количество пар точек (x i, y i) , по которым строится интерполяционный многочлен P(x) – n1=n+1 ) предусмотреть:

ü Ввод произвольно расположенных узлов x i, i=0, n с клавиатуры

ü Расчет узлов x i , i=0, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке

ü В пп. 1,2 значения y i , i=0, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x) . Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB

ü Ввод данных (x i, y i, i=0, n ) из файла

· Решить систему уравнений для определения коэффициентов многочлена P(x)

· Построить графики исходной таблично заданной функции и многочлена P(x)

· Если исходные данные заданы в виде функции f(x), построить график погрешности интерполяции /f(x) – P(x)/. Рассчитать максимальное по модулю значение погрешности интерполяции на заданном промежутке.

Задание №2

Интерполяция сплайнами

Цель работы:

Необходимо составить программу вычисления коэффициентов и построения сплайн-функции S(x), «склеенной» из кусков многочленов 3‑го порядка S i (x ), которые имеют специальную форму записи:

функция S i (x ) определена на отрезке ,

Требования к программе

При выполнении данной работы необходимо:

· Задать границы отрезка , на котором строится сплайн-функция S(x)

· Задать n – количество отрезков интерполяции, на каждом из которых строится кубический многочлен Si(x).

· Примечание: x0, xn, n вводятся с клавиатуры.

· Организовать ввод исходных данных (x, y) (количество пар точек (xi, yi), по которым строится сплайн-функция S(x), n1=n+1), предусмотрев:

ü Ввод произвольно расположенных узлов xi, i=0, n с клавиатуры

ü Расчет узлов xi, i=0, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке

ü В пп. 1,2 значения yi, i=0, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x). Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB

ü Ввод данных (xi, yi, i=0, n) из файла

ü S1""(x0)=0, S3""(x3)=0

ü S1"(x0)=f "(x0), S3"(x3)=f "(x3)

ü S1""(x0)=f «(x0), S3""(x0)=f «(x3)

· Для определения коэффициентов естественного кубического сплайна (краевые условия 1) необходимо решить следующую систему уравнений:

Коэффициенты σ 0 =0,σ n =0

· Построить графики исходной функции и сплайн-функций для всех трех типов краевых условий.

· Построить графики функций погрешности сплайн-интерполяции f(x) – S(x) для всех трех типов краевых условий.

Примечание:

В пакете MATLAB индексы одномерных и двумерных массивов начинаются с 1, а не с 0. Учесть это при составлении программы.

Задание №3

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов (МНК).

Данное задание подразумевает нахождение для некоторой совокупности данных аппроксимирующей функции (многочлена степени m), построенной методом наименьших квадратов (МНК).

Цель работы:

Необходимо составить программу нахождения коэффициентов многочлена φ(x )= a 0 + a 1 * x +… a n * x m методом наименьших квадратов.

Пусть, например, имеется следующая совокупность данных:

Поиск необходимых коэффициентов осуществляется следующим образом:

где n – количество точек (x , y ),

m – степень искомого многочлена,

a 0 , a 1 , …, a m – искомые коэффициенты (φ ( x )= a 0 + a 1 x + … + a m x m ).

Требования к программе

При выполнении данной работы необходимо:

· Задать границы отрезка , на котором строится аппроксимирующая функция φ(x)=a0+a1*x+… an * xm

· Задать m – степень многочлена

· Примечание: x1, xn, m вводятся с клавиатуры.

· Для получения исходных данных (x, y), по которым строится аппроксимирующая функция φ(x)=a0+a1*x+… an* x m предусмотреть:

ü Ввод произвольно расположенных узлов xi, i=1, n с клавиатуры

ü Расчет узлов xi, i=1, n, соответствующих равномерному расположению аргумента x на отрезке

ü В пп. 1,2 значения yi, i=1, n либо вводятся с клавиатуры (если исходная функция неизвестна), либо вычисляются по заданной функции f(x). Выражение, определяющее функцию, вводится с клавиатуры и должно соответствовать правилам записи выражений в MATLAB

ü Ввод данных (xi, yi, i=1, n) из файла

· Решить систему уравнений для определения коэффициентов многочлена φ(x)

· Построить графики исходной таблично заданной функции и многочлена φ(x)

· Если исходные данные заданы в виде функции f(x), построить график погрешности интерполяции /f(x) – φ(x)/. Рассчитать максимальное по модулю значение погрешности интерполяции на заданном промежутке.

При выполнении последнего пункта на отрезке взять не менее 500 точек для проведения расчетов

Требования к оформлению лабораторной работы

Отчет должен содержать:

1. Постановку задачи

2. Текст программы

3. Результаты тестирования

Примечание тексты программ должны быть снабжены комментариями.

1. Ануфриев И.Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 736 с.: ил.

2. В.П. Дьяконов MATLAB 6.5 SPI/7 + Simulink 5/6 в математике и моделировании. Серия «Библиотека профессионала». – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 576 с.: ил.

3. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MathLab 7. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 1104 с.: ил.